القاسم لعدد صحيح

[سومة ليبية]

Divisor of Integer

تعريف 1 : ليكن a عدد صحيح لا يساوي صفر , نقول أن a قاسم للعدد الصحيح b (وتكتب ذلك رمزيا [Only Registered Users Can See Links]) إذا وجد عدد صحيح c بحيث [Only Registered Users Can See Links] أحيانا نصف العدد a بأنه عامل من عوامل b , كما نقول أن b مضاعف للعدد a . وإذا لم يكن a قاسم للعدد الصحيح b فإننا نعبر عن ذلك بالشكل[Only Registered Users Can See Links]

مثال1: [Only Registered Users Can See Links] لأنه يوجد عدد صحيح وهو 4 بحيث [Only Registered Users Can See Links] كذلك [Only Registered Users Can See Links] لأن[Only Registered Users Can See Links] بينما [Only Registered Users Can See Links] لأنه لا يوجد عدد صحيح c بحيث [Only Registered Users Can See Links]
نرمز لمجموعة قواسم عدد صحيح a بالرمز [Only Registered Users Can See Links] ونرمز لمجوعة مضاعفات عدد a بالرمز [Only Registered Users Can See Links] أي أن
[Only Registered Users Can See Links]


مثال2:
[Only Registered Users Can See Links]

[Only Registered Users Can See Links]

حقيقة 1: كل قاسم لعددين هو قاسم لمجموعهما وقاسم للفرق بينهما , أي أنه إذا كان [Only Registered Users Can See Links] و [Only Registered Users Can See Links] فإن[Only Registered Users Can See Links] .


البرهان: سنثبت جزء ونترك آخر للقارئ . افرض أن a قاسم للعددين b , c . إذا يوجد [Only Registered Users Can See Links] بحيث[Only Registered Users Can See Links] , [Only Registered Users Can See Links] وبجمع المتساويتين

[Only Registered Users Can See Links]
إذا a يقسم المجموع [Only Registered Users Can See Links] وبالمثل يمكنك تبيان أن a يقسم الفرق [Only Registered Users Can See Links]

النظرية[م] ([Only Registered Users Can See Links]) الآتية تشمل بعض الخصائص المباشرة للقاسم , والفقرة الأولى منها تعتبر تعميم للحقيقة السابقة لتشمل اي تركيب خطي[Only Registered Users Can See Links]منb , c حيث m, n أعداد صحيحة.

نظرية 1: لتكن a, b , c أعداد صحيحة.


إذا كان a قاسم للعددين c , b فإنه قاسم للتركيب الخطى [Only Registered Users Can See Links]حيث m, n أعداد صحيحة.
إذا كان a يقسم b وكان b يقسم c فإن a يقسم c
إذا كان a يقسم b فإنه يقسم كل مضاعف bc للعدد b
إذا كان a يقسم b فإن ac يقسم bc حيث c عدد صحيح لا يساوي صفر
إذا كان a يقسم b وكان b يقسم a فإن a=b أو a= -b
إذا كان b صحيح موجب فإنه الأكبر من بين قواسمه , بمعنى أن [Only Registered Users Can See Links] لكل a يقسم b.

البرهان :
1. افرض أن [Only Registered Users Can See Links] بحيث[Only Registered Users Can See Links] , [Only Registered Users Can See Links] إذا

[Only Registered Users Can See Links]

إذا a يقسم التركيب الخطي [Only Registered Users Can See Links] لأن هذا التركيب يساوي a مضروبا في العدد الصحيح [Only Registered Users Can See Links]

2. من المعطى يوجد [Only Registered Users Can See Links] بحيث[Only Registered Users Can See Links] [Only Registered Users Can See Links] إذا a يقسم c لأن


[Only Registered Users Can See Links]
3. متروك للقارئ
4. متروك للقارئ

5. من المعطى يوجد [Only Registered Users Can See Links] بحيث [Only Registered Users Can See Links] [Only Registered Users Can See Links] بالتعويض من إحدى المتساويتين في الثانية ثم الاختصار ينتج أن [Only Registered Users Can See Links] وهذا يكافئ ([Only Registered Users Can See Links] أو [Only Registered Users Can See Links] ) وهذا يقتضي أن ([Only Registered Users Can See Links] أو [Only Registered Users Can See Links]).

6. يكفي أن نثبت أن b أكبر من أي قاسم موجب, لذلك افرض أن القاسم a موجبا . إذا [Only Registered Users Can See Links]