الصف المطرد

[سومة ليبية]

الصف المطرد

Monotone Class



يتعذر في الحالة العامة إعطاء طريقة بنائية لعناصر [Only Registered Users Can See Links]الحلقة[م] ([Only Registered Users Can See Links]) (أو [Only Registered Users Can See Links] الجبرة على وجه الخصوص) المولدة بواسطة تجمع معين[م] ([Only Registered Users Can See Links]) D. مفهوم الصف المطرد هو أحد أنماط التجمعات التي يمكن أن تدرس بدلا [Only Registered Users Can See Links]الحلقة والتي يمكن من خلالها استنتاج نظريات تتعلق ببنية [Only Registered Users Can See Links]الحلقة.
تعريف1: نقول عن صف class غير خال [Only Registered Users Can See Links] لمجموعات أنه مطرد monotone إذا كان لكل متتابعة مطردة لمجموعات [Only Registered Users Can See Links] في [Only Registered Users Can See Links] نهايتها [Only Registered Users Can See Links] في [Only Registered Users Can See Links]
بما أن نهاية المتتابعة التزايدية (التناقصية) هو اتحاد (تقاطع[م] ([Only Registered Users Can See Links])) عناصرها فإن التجمع الغير خالي [Only Registered Users Can See Links] صف مطرد إذا حقق الشرطين:
1) إذا كانت[Only Registered Users Can See Links] متتابعة تزايدية في [Only Registered Users Can See Links] فإن [Only Registered Users Can See Links] تنتمي إلى [Only Registered Users Can See Links]
2) إذا كانت[Only Registered Users Can See Links] متتابعة تناقصية في [Only Registered Users Can See Links] فإن [Only Registered Users Can See Links] تنتمي إلى [Only Registered Users Can See Links]
أحينا يعبر عن الشرط الأول بالقول أن [Only Registered Users Can See Links] مغلقة بالنسبة للمتتابعات التزايدية وبالنسبة للشرط الثاني بالقول أن [Only Registered Users Can See Links] مغلقة بالنسبة للمتتابعات التناقصية.


حقائق مباشرة

1) مجموعة القوة [Only Registered Users Can See Links] لمجموعة X صف مطرد.
2) كل [Only Registered Users Can See Links]حلقة (ولذلك كل [Only Registered Users Can See Links]جبرة) S صف مطرد. لأنه لأي [Only Registered Users Can See Links] متتابعة في [Only Registered Users Can See Links]حلقة S فإن[Only Registered Users Can See Links] في S.
3)هناك دائما أصغر صف مطرد يحوي تجمع معطى D رمزه [Only Registered Users Can See Links]ويسمى الصف المطرد المولد بواسطة D. إثبات وجودة مماثل لإثبات الخاصية المماثلة في حالة الجبرة على مجموعة حيث يعتمد أساسا على أن تقاطع أي عدد من الصفوف المطردة يعطي صف مطرد.

حقيقة2: كل حلقة مجموعات ومطردة R هي [Only Registered Users Can See Links]حلقة, كحالة خاصة كل جبرة على X ومطردة R هي [Only Registered Users Can See Links]جبرة.
البرهان: بما أن R حلقة يكفي أن نثبت أنها مغلقة تحت عملية الاتحاد القابل للعد. لتكن [Only Registered Users Can See Links] متتابعة في R. خذ المتتابعة المطردة تزايديا [Only Registered Users Can See Links] المعرفة بالعلاقة
[Only Registered Users Can See Links]
بما أن [Only Registered Users Can See Links] وبما أن R مطردة فإن [Only Registered Users Can See Links]

نأتي الآن إلى النظرية[م] ([Only Registered Users Can See Links]) الهامة نظرية الصف المطرد Monotone Class Theorem وهي ذات تطبيق[م] ([Only Registered Users Can See Links]) واستخدام في نظرية القياس وفي غيرها أحيانا تقدم بصورة مختلفة حسب الحاجة.
نظرية3 (نظرية الصف المطرد): إذا كانت G جبرة مجموعات من X فإن الصف المطرد المولد بواسطة G يطابق [Only Registered Users Can See Links]الجبرا المولدة بواسطة G, أي أن [Only Registered Users Can See Links]
البرهان: بما أن سيجما الجبرا [Only Registered Users Can See Links] صف مطرد يحوي G فإن [Only Registered Users Can See Links] لاثبات الاتجاه الآخر يكفي تبيان أن [Only Registered Users Can See Links] [Only Registered Users Can See Links]الجبرا.
من أجل لأي مجموعة [Only Registered Users Can See Links] عرف
[Only Registered Users Can See Links]
حيث M نقصد بها [Only Registered Users Can See Links] إذا كانت [Only Registered Users Can See Links] مطردة في [Only Registered Users Can See Links] فإن
[Only Registered Users Can See Links]
ولذلك فإن كل [Only Registered Users Can See Links] غير خال هو صف مطرد. الآن ليكن [Only Registered Users Can See Links] إذا من تعريف الجبرة نستسنتج أن [Only Registered Users Can See Links] وبالتالي [Only Registered Users Can See Links] وحيث أن M أصغر صف مطرد يحوي G فإن
[Only Registered Users Can See Links]
إذا إذا كان[Only Registered Users Can See Links] و[Only Registered Users Can See Links] فإن [Only Registered Users Can See Links] وبالتالي [Only Registered Users Can See Links] وهذا ناتج من التناظر في تعريف [Only Registered Users Can See Links] بما أن هذا صحيح لكل [Only Registered Users Can See Links] فإنه وكما سبق
[Only Registered Users Can See Links]
وبالتالي إذا كان [Only Registered Users Can See Links] فإن [Only Registered Users Can See Links] أي أن[Only Registered Users Can See Links] . إذا M جبرا على X لكونها حلقة مجموعات تحوي X. من الحقيقة أعلاه ينتج أن M [Only Registered Users Can See Links]الجبرا.
مراجع:


P R Halmos, Measure Theory ([Only Registered Users Can See Links])
[Only Registered Users Can See Links]
[Only Registered Users Can See Links]