أنظمة الرواسب (البواقي)

[سومة ليبية]

Residue Systems

هذا المفهوم يعتبر أحد أهم مفاهيم التطابقات خصوصا وساهم في تقديم تصور أعمق للتطابقات, الفكرة تبدأ ملاحظة أنه عندما نختار عدد طبيعي n فإننا نعلم أن بواقي القسمة على هذا العدد هي

0,1,2,..., n-1

هذه البواقي محدودة العدد جزأت مجموعة الأعداد الصحيحة إلى فصول تكافؤ

[0], [1], [2],...,[n-1]
باستخدام العلاقة

[Only Registered Users Can See Links]

وكما يعلم من له معرفة بعلاقات التكافؤ وفصولها أن العمليات على الفصول تكون مستقلة عن ممثل الفصل, نحن هنا نهتم بهذا السؤال من جانب نظرية[م] ([Only Registered Users Can See Links]) العدد فنقول أن اختيار أي ممثل لفصل التكافؤ هو ممثل عن الباقي الذي يظهر عن قسمة كل عناصر الفصل على العدد n. بمعنى آخر لو قمنا باختيار n عنصرا بطريقة عشوائية من جميع فصول التكافؤ ولتكن [Only Registered Users Can See Links] ثم سجلنا بواقي قسمة هذه الأعداد على n فسنجد أن البواقي جميعها ستظهر

0,1,2,..., n-1

ولذلك عناصر مثل هذه المجموعة [Only Registered Users Can See Links] تسمى نظام بواقي تام أو نظام رواسب تام. الآن نقدم التعريف الرياضي لمفهوم أنظمة الرواسب.

تعريف 1: نقول أن الأعداد [Only Registered Users Can See Links] تمثل نظام بواقي (رواسب) تام complete residue system معيار n إذا كان كل عدد صحيح يطابق واحد فقط من هذه الأعداد معيار n.

لذلك يكفي لاختبار ما إذا كان n من الأعداد الصحيحة تمثل نظام بواقي تام معيار n أن نثبت أن كل عدد منها يطابق عدد واحد فقط من الأعداد 0,1,2,...,n-1. هذه الأعداد الأخيرة هي نظام رواسب تام بحد ذاتها.

هناك طريقة أخرى لاختبار ما إذا كان عدد n من الأعداد [Only Registered Users Can See Links] يمثل نظام بواقي تام معيار n أم لا, نحددها الآن.

حقيقة 1: الأعداد [Only Registered Users Can See Links] تمثل نظام بواقي تام معيار n إذا وفقط إذا كان [Only Registered Users Can See Links] لكل [Only Registered Users Can See Links]

في إثبات هذه الحقيقة نسير على النحو التالي:
افرض أن [Only Registered Users Can See Links] تمثل نظام بواقي تام معيار n إذا [Only Registered Users Can See Links] لكل [Only Registered Users Can See Links] لأن عكس ذلك سيجعل [Only Registered Users Can See Links] مثلا يطابق عنصرين من نظام البواقي وهذا مستحيل. عكسيا افرض أن [Only Registered Users Can See Links] لكل [Only Registered Users Can See Links] إذا كل الأعداد
[Only Registered Users Can See Links]

لها بواقي مختلفة عند قسمتها على العدد n. وحيث أن عددها n فإن كل عدد صحيح يطابق واحد فقط من هذه الأعداد معيار n وبالتالي [Only Registered Users Can See Links] نظام بواقي تام معيار n.

نختم بهذه النظرية المفيدة في أنظمة الرواسب التامة.

نظرية 1: إذا كان [Only Registered Users Can See Links] نظام بواقي تام معيار n وكان a عدد صحيح بحيث [Only Registered Users Can See Links] فإن

[Only Registered Users Can See Links]

نظام بواقي تام معيار n وذلك لأي عدد صحيح b. وكحالة خاصة فإن كل عدد n من الأعداد الصحيحة المتتابعة تمثل نظام بواقي تام معيار n.

باستخدام الحقيقة السابقة يكفي إثبات عدم تطابق أي عنصرين من

[Only Registered Users Can See Links]

معيار n. لذلك افرض جدلا أن [Only Registered Users Can See Links] إذا [Only Registered Users Can See Links] ومنه [Only Registered Users Can See Links] كل هذه التطابقات معيار n ولكن كتبت مختصرة . ولكن [Only Registered Users Can See Links] وكذلك a أولي نسبيا مع n. إذا [Only Registered Users Can See Links] وهذا يناقض الحقيقة أعلاه حيث العنصرين من نظام رواسب تام. إذا الفرض خاطيء ويثبت المطلوب.

الحالة الخاصة المشار إليها في النظرية نتتج من حقيقة أن 0,1,2,...,n-1 نظام بواقي تام وأن أي عدد n من الأعداد الصحيحة المتتابعة تنتج من إضافة عدد ثابت b لهذه الأعداد.