نظرية مورلي

[سومة ليبية]

Morley's Theorem

في أواخر القرن التاسع عشر عام 1899م قدم البروفيسور مورلي Frank Morley نظريته المتعلقة بمستقيمات تثليث زوايا[م] ([Only Registered Users Can See Links]) المثلث[م] ([Only Registered Users Can See Links]) , فكل زاوية لها مستقيمي تثليث يقسمان الزاوية الى ثلاثة زوايا متطابقة. تنص نظرية[م] ([Only Registered Users Can See Links]) مورلي على انه
في أي مثلث , النقاط الثلاث الناتجة من تقاطع[م] ([Only Registered Users Can See Links]) مستقيمات التثليث المتجاورة adjacent trisectors تشكل مثلث متطابق الأضلاع.
[Only Registered Users Can See Links]
لقد شكلت هذه النتيجة[م] ([Only Registered Users Can See Links]) مفاجأة , إذ لم يكن هذا أمرا متوقعا. الإثبات الأصلي لمورلي لهذه النظرية كان على شكل نتيجة من دراسة له كانت أكثر تعقيدا وبعيدة نوعا ما عن مفاهيم الهندسة المستوية.
ولذلك نشا بعدها عدة محاولات في تقديم براهين أكثر ارتباطا بالهندسة ولتلائم طبيعة المعلومة التي تحملها نظرية مورلي.
سنحاول هنا عرض ابسط البراهين التي كتبت لهذه النظرية. لقد وجدت هذا البرهان في احدى المصادر على النت واعجبني اعتماده الكامل على حقائق هندسية أولية , البرهان يسير بطريقة عكسية أنطلاقا من المثلث المتطابق الأضلاع وصولا الى مثلث مستقيمات التثليث المتجاورة فيه تتقاطع عند رؤوس المثلث المتطابق الأضلاع.
ليكن PMN مثلث متطابق الأضلاع ولتكن a,b,c أي ثلاة أعداد موجبة بحيث يكون مجموعها 60 , اي ثلث مجموع زوايا المثلث. سنبدا الآن ببناء المثلث الذي زواياه 3a, 3b , 3c.
من النقطة P ارسم زاوية قياسها a ومن النقطة M ارسم زاوية قياسها c بحيث يتقاطع ضلعي الزاويتين البعيدين عند النقطة B. بالمثل من النقطة P والنقطة N ارسم زاويتين قياسهما b و c على الترتيب بحيث يتقاطع ضلعي الزاويتين البعيدين عند النقطة A.
[Only Registered Users Can See Links]
بالنظر للمثلث APN يظهر بوضوح أن الزاوية PAN=a
بالنظر للمثلث BPM يظهر بوضوح أن الزاوية PBM=a
المثلثين PNR و PMQ في كل منهما زاوية 60 وزاوية 60+c وضلعين متطابقين PM , PN. إذا
[Only Registered Users Can See Links]

أيضا من التطابق, الزاويتين الخارجيتين PRA و PQB متساويتن وبالتالي المثلثان APR و BPQ متشابهان لتساوي زوايتين من الأول مع زاويتين من الثاني. ومن تناسب الأضلاع فيهما ينتج أن :
[Only Registered Users Can See Links]

حيث النسبة الأولى من اليمين ناشئة من أن [Only Registered Users Can See Links]
لنصل الآن القطعة AB . في المثلثين ABR و ABP الزاوية R= الزاويةP . ولذلك المثلثان متشابهان من خلال زاوية وتناسب ضلعين كما يبين التناسب السابق. وبالتالي الزاويتين المتبقية من المثلث ABP قياسهما a, b كما هو مبين على الشكل.
بالمثل نستطيع تكرار نفس هذه المحاورة مرة ثم مرة اخرى لنحصل في النهاية على مثلث ABC كما في الشكل قياس زواياه على 3a, 3b, 3c والتي مجموعها بطبيعة الحال 180 درجة.
[Only Registered Users Can See Links]
هذا الاثبات يبين كيف نبني المثلث الذي تعطي مستقيمات التثليث الخاصة به ذلك المثلث المتطابق الأضلاع , ولكن هذا ليس في الحقيقة ما نريده بالضبط . لذلك وحتى يكتمل البرهان لنفرض أننا اعطينا مثلث اختياري XYZ قياس زواياه r, s , t. لنفرض أن أثلاث هذه القياسات هي a,b,c. إذا المثلث ABC المنشأ بالطريقة السابقة عبارة عن مثلث مشابه لهذا للمثلث المعطى وحيث التشابه يحافظ على الزوايا فإن نقاط تقاطه مستقيمات التثليث المتجاورة تشكل رؤوس لمثلث متطابق الأضلاع وهو المطلوب إثباته.
برهان آخر
البرهان التالي والمسمى برهان بانكوف Bankoff's Proof يعتمد على حساب المثلثات ويتميز بأنه يقدم صيغة رياضية لحساب طول ضلع المثلث الناشئ (المتطابق الأضلاع) بدلالة زوايا المثلث الأصلي.

ليكن ABC مثلث مرسوم داخل دائرة[م] ([Only Registered Users Can See Links]) نصف قطرها ولنفرض أن
[Only Registered Users Can See Links]


ولنفرض ان الدائرة المحيطة بالمثلث نصف قطرها R=1 . من قانون الجيوب
[Only Registered Users Can See Links]
ينتج لنا

[Only Registered Users Can See Links]

خذ الآن المثلث BAP , من قانون الجيوب لدينا
[Only Registered Users Can See Links]

إذا
[Only Registered Users Can See Links]

ولكن من حساب المثلثات


بالتعويض بهذه النتيجة عن sin3a في المساواة (2) ينتج لدينا
[Only Registered Users Can See Links]
بالمثل
[Only Registered Users Can See Links]

ولكن من قانون جيب التمام على المثلث BPM
[Only Registered Users Can See Links]

لاحظ أن الزوايا 60+a , 60+c , b مجموعها 180 ولذلك هي زوايا لمثلث. ولنفرض ان الدائرة المحيطة به نصف قطرها r. باستخدم قانون الجيب وعلاقته بنصف القطر[م] ([Only Registered Users Can See Links]) (المذكور أعلاه) يمكن التعبير عن أطوال أضلاع هذا المثلث بدلالة نصف القطروباستخدام هذا التعبير في قانون جيب التمام يكون الناتج
[Only Registered Users Can See Links]
إذا
[Only Registered Users Can See Links]

وبالتعويض في (3) نحصل على
[Only Registered Users Can See Links]
أو
[Only Registered Users Can See Links]

نلاحظ أن هذه الصيغة الخاصة بإيجاد طول الضلع PM في المثلث PMN متناظرة بالنسبة للقياسات a,b,c. لذلك ستكون لبقية الضلعين MN , NP نفس القيمة وهذا يثبت أن المثلث PMN متطابق الضلعين.
أخيرا اشير الى انه في العام 1995 قدم كونوي Conway برهانا جميلا وقد يكون من أقصر البراهين لنظرية مورلي اعتمد فيه أبسط المفاهيم الهندسية تماما. انظر [Only Registered Users Can See Links] ([Only Registered Users Can See Links])
المراجع:
[Only Registered Users Can See Links]