سيجما الحلقة

[سومة ليبية]

سيجما الحلقة[م] ([Only Registered Users Can See Links])

Sigma Ring


تعريف1: سيجما الحلقة وتكتب [Only Registered Users Can See Links] -الحلقة هي تجمع غير خال [Only Registered Users Can See Links] لمجموعات مغلق تحت عملية الفرق وعملية الإتحاد القابل لعد.
بمعنى آخر [Only Registered Users Can See Links]الحلقة عبارة عن تجمع غير خال [Only Registered Users Can See Links] بحيث يحقق ما يلي:
1) إذا كانت [Only Registered Users Can See Links] فإن [Only Registered Users Can See Links]
2) إذا كانت [Only Registered Users Can See Links] حيث [Only Registered Users Can See Links] فإن [Only Registered Users Can See Links]

نتائج مباشرة:

1) كل [Only Registered Users Can See Links]حلقة [Only Registered Users Can See Links] هي حلقة مجموعات ([Only Registered Users Can See Links]) مغلقة تحت عملية الإتحاد القابل لعد.
2) كل [Only Registered Users Can See Links]حلقة [Only Registered Users Can See Links] مغلقة تحت عملية التقاطع[م] ([Only Registered Users Can See Links]) العدود (القابل للعد) وذلك لأن
[Only Registered Users Can See Links] حيث[Only Registered Users Can See Links]
3) إذا كانت [Only Registered Users Can See Links] متتابعة مجموعات من [Only Registered Users Can See Links]حلقة [Only Registered Users Can See Links] فإن
[Only Registered Users Can See Links]
الحقيقة التالية تبين أن هناك دائما أصغر [Only Registered Users Can See Links]حلقة تحوي تجمع معطى D وتسمى [Only Registered Users Can See Links]الحلقة المولدة بواسطة D ورمزها[Only Registered Users Can See Links]
حقيقة2: ليكن D تجمع لمجموعات جزئية من X. يوجد أصغر [Only Registered Users Can See Links]حلقة [Only Registered Users Can See Links] بحيث تحوي D بمعنى أنه إذا كانت [Only Registered Users Can See Links] أي [Only Registered Users Can See Links]حلقة تحوي D فإن [Only Registered Users Can See Links]
البرهان: مطابق تماما لبرهان نفس الحقيقة في حلقة مجموعات ([Only Registered Users Can See Links]).

حقيقة3: لتكن [Only Registered Users Can See Links] [Only Registered Users Can See Links]الحلقة المولدة بواسطة D عندئذ فإنه لأي [Only Registered Users Can See Links] يوجد تجمع جزئي E عدود (قابل للعد) من D بحيث [Only Registered Users Can See Links]
البرهان: إتحاد جميع [Only Registered Users Can See Links]الحلقات الجزئية من [Only Registered Users Can See Links] والتي مولدة بتجمع جزئي قابل للعد من D يمثل [Only Registered Users Can See Links]حلقة T محتواه في [Only Registered Users Can See Links] إذا [Only Registered Users Can See Links] ويثبت المطلوب.
نظرية4: إذا كان G تجمع لمجموعات من X وكانت [Only Registered Users Can See Links] فإن
[Only Registered Users Can See Links]
هذا يعني أن تقاطع A مع عناصر [Only Registered Users Can See Links]الحلقة المولدة بالتجمع G يساوي [Only Registered Users Can See Links]الحلقة المولدة بواسطة التجمع المكون من تقاطع A مع عناصر G.
البرهان: اجعل
[Only Registered Users Can See Links]
وليكن H تجمع جميع المجموعات التي على الشكل [Only Registered Users Can See Links] حيث [Only Registered Users Can See Links] و [Only Registered Users Can See Links] من السهل التحقق أن H [Only Registered Users Can See Links]حلقة. إذا كان [Only Registered Users Can See Links] فإن [Only Registered Users Can See Links] وبالتالي [Only Registered Users Can See Links] وذلك لأن
[Only Registered Users Can See Links]
إذا [Only Registered Users Can See Links] ولذلك [Only Registered Users Can See Links] ومنه
[Only Registered Users Can See Links]
ولكن [Only Registered Users Can See Links] إذا
[Only Registered Users Can See Links]
بالنسبة للاحتواء الآخر لاحظ أن
[Only Registered Users Can See Links]
بذاتها [Only Registered Users Can See Links]حلقة تحوي [Only Registered Users Can See Links] إذا تحوي [Only Registered Users Can See Links]الحلقة المولدة بهذا التجمع أي أن
[Only Registered Users Can See Links]
وبهذا يثبت المطلوب.
المراجع


P R Halmos, Measure Theory ([Only Registered Users Can See Links])
[Only Registered Users Can See Links] ([Only Registered Users Can See Links])
[Only Registered Users Can See Links] ([Only Registered Users Can See Links])