تعريف تعميم الضرب الديكارتي

[سومة ليبية]

Generalized Cartesian Product


الضرب الديكارتي [Only Registered Users Can See Links] لمجموعتين [Only Registered Users Can See Links] يمكن تعميمه لأي عدد من المجموعات كما يلي.

تعريف تعميم الضرب الديكارتي


إذا كانت [Only Registered Users Can See Links] عائلة من المجموعات المفهرسة بمجموعة أدلة غير خالية I فإن الجداء أو الضرب الديكارتي للمجموعات [Only Registered Users Can See Links] يعرف كما يلي:

[Only Registered Users Can See Links]

أي أنه مجموعة جميع الدوال[م] ([Only Registered Users Can See Links]) f على I التي تحقق [Only Registered Users Can See Links] لكل [Only Registered Users Can See Links] نطلق على هذا الضرب أحينا مسمى الضرب اللانهائي infinite products أو الضرب الديكارتي المعمم generalized Cartesian product.

ملاحظات:
(1) إذا كانت [Only Registered Users Can See Links] لدليل معين[م] ([Only Registered Users Can See Links]) k من I فإن [Only Registered Users Can See Links] لأن في هذه الحالة لا يوجد دالة على I بحيث [Only Registered Users Can See Links]

(2) أحينا يكون من المناسب كتابة الدالة [Only Registered Users Can See Links] بالشكل [Only Registered Users Can See Links] حيث [Only Registered Users Can See Links] لكل [Only Registered Users Can See Links] هذا الترميز مماثل لطريقتنا في كتابة متتابعة ما بالشكل [Only Registered Users Can See Links] ويجب عدم الخلط بينه وبين الترميز المستخدم في التعبير عن المجموعات.

حالات خاصة

(1) الضرب الديكارتي [Only Registered Users Can See Links] ينتج من هذا التعريف الأعم كحالة خاصة وذلك عندما تكون I مجموعة منتهية [Only Registered Users Can See Links] حيث نطابق كل نوني مرتب [Only Registered Users Can See Links] مع الدالة [Only Registered Users Can See Links] من [Only Registered Users Can See Links]

(2) إذا كانت I مجموعة الأعداد الطبيعية N وكانت [Only Registered Users Can See Links] لكل عدد طبيعي i فإننا نكتب [Only Registered Users Can See Links] ويمثل الضرب الديكارتي في هذه الحالة جميع المتتابعات من المعرفة على [Only Registered Users Can See Links] حيث [Only Registered Users Can See Links]

(3) إذا كانت [Only Registered Users Can See Links] لكل دليل j في مجموعة الأدلة J فعادة ما نكتب [Only Registered Users Can See Links] بالشكل [Only Registered Users Can See Links] وهي مجموعة جميع الدوال [Only Registered Users Can See Links]

بعض الخصائص في الضرب الديكارتي اللانهائي

(1) لأي [Only Registered Users Can See Links] فإن الدالة

[Only Registered Users Can See Links]

المعرفة بالعلاقة [Only Registered Users Can See Links] تسمى دالة الإسقاط projection map أو الدالة الإسقاطية لدليل k وهي كما يبين تعريفها ترسل كل دالة من الضرب اللانهائي إلى المركبة ذات الدليل k.

(2) إذا كانت [Only Registered Users Can See Links] لكل [Only Registered Users Can See Links] فإن [Only Registered Users Can See Links] , إذا كانت [Only Registered Users Can See Links] لبعض [Only Registered Users Can See Links] فالنتيجة[م] ([Only Registered Users Can See Links]) واضحة حيث [Only Registered Users Can See Links] في هذه الحالة. إذا كانت جميع [Only Registered Users Can See Links] غير خالية واضح أن كل دالة [Only Registered Users Can See Links] تعتبر دالة [Only Registered Users Can See Links] وهذا يكفي.


مراجع

[Only Registered Users Can See Links]
Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960